Kategóriák
Article

Robot kinematika 1. – Direkt kinematika

A kinematika a fizika azon részterülete mely a testek mozgásának leírásával foglalkozik. A direkt kinematikai feladat segítségével, a robot tengelyeinek egy adott helyzetéből meghatározható, a TCP pont alap koordináta rendszer szerinti pozíciója, és a szerszám koordináta rendszer pillanatnyi orientációja. Egyszerűbben fogalmazva a tengely szöghelyzetek ismeretében meg tudjuk határozni a robot szerszám helyét és állását.

Jelölések:

q= csuklókoordináta vektor (elemei az egyes tengelyek szöghelyzetei)

s= világ (alap) koordináta vektor (3 db pozíciós és 3 db rotációs paraméter)

Amennyiben szeretnénk tudni, hogy egy adott robot kar (manipulátor) pozíció, milyen térbeli TCP helyzetet eredményez, direkt kinematikai feladatot kell megoldanunk. A kiinduló pontunk a robot fizikai méreteinek ismerete és az egyes csuklók aktuális (pillanatnyi) helyzete vagy állásszöge. A számítások végén pedig megkapjuk az „end effector” vagy szerszám alap koordináta rendszer szerinti helyzetét, ami nem más, mint az alap és a szerszám koordináta rendszerek origója közötti vektor. Megkapjuk továbbá a szerszám koordináta rendszer, alap koordináta rendszer tengelyeihez viszonyított elfordulását, vagyis a rotációt.

A részletes matematikai levezetést itt nem szeretném ismertetni, most csak a matematikai eszközöket, és azok alkalmazását mutatnám be, melyek elegendők egy gyakorlati számítás elvégzéséhez.

Direkt kinematikai (forward kinematics) feladat megoldásához rendelkezésünkre áll a Denavit-Hartenberg mátrix. A mátrix segítségével képesek vagyunk tengely szöghelyzet adatokból meghatározni, a TCP pont alap koordináta rendszer szerinti X, Y, Z paramétereit, valamint a szerszám koordináta rendszer θ, ψ, ϕ, szögeltérését az alap koordináta rendszerhez képest. Az utóbbi három paramétert a szerszám koordináta rendszer módosított Euler szögeinek nevezzük, mely nem más, mint a szerszám koordináta rendszer rotációja (elfordulása).

Denavit-Hartenberg mátrix:

Első lépésben ismerjük meg azt a mátrixot, ami kapcsolatot teremt egyetlen robot csukló fizikai paraméterei és az általa reprezentált Descartes koordináta rendszer szerinti pozíció között.

Jelölések:

i-1Di= D-H transzformációs mátrix az i-1 tengelytől az i tengelyig

di= tengelyek közötti eltolás (offset)

ai= tengelyek közötti távolság (a link hossza)

αi= csuklók tengelyvonalai között bezárt szög

Θi= i-edik csukló koordinátája (az i-edik tengely szöghelyzete)

A D-H transzformációs mátrix egy robot szegmenshez (a robot test egy merev tagja melyet jellemzően „kar”-nak nevezünk) tartozó két csukló (tengely) közötti koordináta transzformációra ad megoldást. A teljes robot kar mozgásának meghatározásához az összes csuklóra vonatkozó D-H mátrix kiszámítása és ezek szorzatának meghatározása szükséges.

A robot fizikai kialakításából meghatározható paraméterek, melyek a D-H mátrix kiszámításához szükségesek, a di , az ai , az αi , és a Θi .

Az egyes paraméterek magyarázata a következő:

di , és az ai = távolság paraméterek. Az ai a tengelyek közötti távolságot, vagyis a link hosszát, a di a tengelyek közötti síkbeli eltolást (offset) jelenti.

Az ai vagyis a tengelyek közötti távolságot mindig az i-edik csukló X tengelye mentén mérjük.

Az di vagyis a tengelyek közötti eltolást mindig az i-1-edik csukló Z tengelye mentén mérjük.

αi = az i-edik és az i+1-edik csukló tengelyvonalai között bezárt szög. Valós robotok esetén ez jellemzően 0° vagy 90°. Érdemes megjegyezni, hogy a paraméter mindig a vizsgált és az őt követő csuklók tengelyvonalai közötti összefüggést mutatja, így az αi-1 adja az i-1-edik és i-edik tengelyvonalak közötti szöget.

Θi = az i-edik tengely szöghelyzete. Könnyen elérhető paraméter, aktuális értéke jellemzően közvetlenül leolvasható a robot vezérlőről. A tengelyek q1 q2 q3 q4 q5 q6 paraméterét jelenti.

A Denavit-Hartenberg mátrix rotációs csukló esetén a következő:

A Denavit-Hartenberg mátrix transzlációs csukló esetén a következő:

Látható. hogy a mátrix jóval egyszerűbb a rotációs csuklónál felírtaknál. Ezt, az paraméterekben bekövetkező változások eredményezik. Az első változás, hogy az ai paramétert, vagyis a kar hosszát 0-nak tekintjük. A hosszra vonatkozó információ a di paraméterben kerül megadásra és a transzlációs tengely kinyúlását adja meg, ugyan úgy ahogy korábban a Θi paraméter, a rotációs csukló állásszögét adta meg. A Θi paraméter pedig szintén 0, mely abból következik, hogy a transzlációs tengely csak egyenes vonalú mozgásra képes. Az αi paraméter jelentése változatlan marad.

Összegezve:

ai = 0

di = a transzlációs tengely aktuális helyzete, mint hossz paraméter. Itt figyelembe kell venni a tengely minimum helyzetében is megmaradó fizikai test méretét.

Θi = 0

Rotációs mátrix:

A következő a rotációs mátrix, mely két azonos origóval rendelkező koordináta rendszer egymáshoz képesti elfordulását, rotációját adja meg.

Jelölések:

A szerszám koordináta rendszer alap koordináta rendszerhez viszonyított rotációját az alábbi rotációs mátrix adja meg. A „0”, vagyis nyugvó koordináta rendszerből rotál az „n” mozgó koordináta rendszerebe.

Az e1, e2, e3, a szerszám (mozgó) koordináta rendszer egységvektorai. A mátrix ezen egységvektoroknak, az alap (nyugvó) koordináta rendszerre számított vetületeit adja. Máshogy fogalmazva a mozgó koordináta rendszer minden egyes vektora milyen összefüggést mutat a nyugvó koordináta rendszer minden egyes vektorával. A 2*3 vektor adja a 3X3-as mátrixot eredményül. (Minden tagot minden taggal szorozni kell.)

A rotációs mátrix felírható a három módosított Euler szög használatával is.

A fenti két leírás módot egymással egyenlővé téve, meghatározhatók a szögekre vonatkozó egyenletek. Ezek már végeredményként használhatók a robot karjának beállításához.

Transzformációs mátrix teljes robot manipulátorra vonatkoztatva

Végül meg kell határozni a teljes robot manipulátorra vonatkozó transzformációs mátrixot. A kapott mátrix magában foglalja a szerszám koordináta rendszer rotációját és origójának helyzetét az alap koordináta rendszerben.

Jelölések:

0Tn= homogén transzformációs mátrix a robot alapjától az „n”-edik tengelyig

0Rn= rotációs mátrix a robot alapjától az „n”-edik tengelyig

Az 0Rn mátrixot behelyettesítve:

A transzformációs mátrixot az egyes tengelyek D-H mátrixainak szorzataként kapjuk.

Ennek megfelelően a szorzat által adott 4X4 mátrixból kiolvashatók a keresett pozícióra vonatkozó adatok.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük