A kinematika a fizika azon részterülete mely a testek mozgásának leírásával foglalkozik. A direkt kinematikai feladat segítségével, a robot tengelyeinek egy adott helyzetéből meghatározható, a TCP pont alap koordináta rendszer szerinti pozíciója, és a szerszám koordináta rendszer pillanatnyi orientációja. Egyszerűbben fogalmazva a tengely szöghelyzetek ismeretében meg tudjuk határozni a robot szerszám helyét és állását.
Jelölések:
q= csuklókoordináta vektor (elemei az egyes tengelyek szöghelyzetei)
s= világ (alap) koordináta vektor (3 db pozíciós és 3 db rotációs paraméter)
Amennyiben szeretnénk tudni, hogy egy adott robot kar (manipulátor) pozíció, milyen térbeli TCP helyzetet eredményez, direkt kinematikai feladatot kell megoldanunk. A kiinduló pontunk a robot fizikai méreteinek ismerete és az egyes csuklók aktuális (pillanatnyi) helyzete vagy állásszöge. A számítások végén pedig megkapjuk az „end effector” vagy szerszám alap koordináta rendszer szerinti helyzetét, ami nem más, mint az alap és a szerszám koordináta rendszerek origója közötti vektor. Megkapjuk továbbá a szerszám koordináta rendszer, alap koordináta rendszer tengelyeihez viszonyított elfordulását, vagyis a rotációt.
A részletes matematikai levezetést itt nem szeretném ismertetni, most csak a matematikai eszközöket, és azok alkalmazását mutatnám be, melyek elegendők egy gyakorlati számítás elvégzéséhez.
Direkt kinematikai (forward kinematics) feladat megoldásához rendelkezésünkre áll a Denavit-Hartenberg mátrix. A mátrix segítségével képesek vagyunk tengely szöghelyzet adatokból meghatározni, a TCP pont alap koordináta rendszer szerinti X, Y, Z paramétereit, valamint a szerszám koordináta rendszer θ, ψ, ϕ, szögeltérését az alap koordináta rendszerhez képest. Az utóbbi három paramétert a szerszám koordináta rendszer módosított Euler szögeinek nevezzük, mely nem más, mint a szerszám koordináta rendszer rotációja (elfordulása).
Denavit-Hartenberg mátrix:
Első lépésben ismerjük meg azt a mátrixot, ami kapcsolatot teremt egyetlen robot csukló fizikai paraméterei és az általa reprezentált Descartes koordináta rendszer szerinti pozíció között.
Jelölések:
i-1Di= D-H transzformációs mátrix az i-1 tengelytől az i tengelyig
di= tengelyek közötti eltolás (offset)
ai= tengelyek közötti távolság (a link hossza)
αi= csuklók tengelyvonalai között bezárt szög
Θi= i-edik csukló koordinátája (az i-edik tengely szöghelyzete)
A D-H transzformációs mátrix egy robot szegmenshez (a robot test egy merev tagja melyet jellemzően „kar”-nak nevezünk) tartozó két csukló (tengely) közötti koordináta transzformációra ad megoldást. A teljes robot kar mozgásának meghatározásához az összes csuklóra vonatkozó D-H mátrix kiszámítása és ezek szorzatának meghatározása szükséges.
A robot fizikai kialakításából meghatározható paraméterek, melyek a D-H mátrix kiszámításához szükségesek, a di , az ai , az αi , és a Θi .
Az egyes paraméterek magyarázata a következő:
di , és az ai = távolság paraméterek. Az ai a tengelyek közötti távolságot, vagyis a link hosszát, a di a tengelyek közötti síkbeli eltolást (offset) jelenti.
Az ai vagyis a tengelyek közötti távolságot mindig az i-edik csukló X tengelye mentén mérjük.
Az di vagyis a tengelyek közötti eltolást mindig az i-1-edik csukló Z tengelye mentén mérjük.
αi = az i-edik és az i+1-edik csukló tengelyvonalai között bezárt szög. Valós robotok esetén ez jellemzően 0° vagy 90°. Érdemes megjegyezni, hogy a paraméter mindig a vizsgált és az őt követő csuklók tengelyvonalai közötti összefüggést mutatja, így az αi-1 adja az i-1-edik és i-edik tengelyvonalak közötti szöget.
Θi = az i-edik tengely szöghelyzete. Könnyen elérhető paraméter, aktuális értéke jellemzően közvetlenül leolvasható a robot vezérlőről. A tengelyek q1 q2 q3 q4 q5 q6 paraméterét jelenti.
A Denavit-Hartenberg mátrix rotációs csukló esetén a következő:
A Denavit-Hartenberg mátrix transzlációs csukló esetén a következő:
Látható. hogy a mátrix jóval egyszerűbb a rotációs csuklónál felírtaknál. Ezt, az paraméterekben bekövetkező változások eredményezik. Az első változás, hogy az ai paramétert, vagyis a kar hosszát 0-nak tekintjük. A hosszra vonatkozó információ a di paraméterben kerül megadásra és a transzlációs tengely kinyúlását adja meg, ugyan úgy ahogy korábban a Θi paraméter, a rotációs csukló állásszögét adta meg. A Θi paraméter pedig szintén 0, mely abból következik, hogy a transzlációs tengely csak egyenes vonalú mozgásra képes. Az αi paraméter jelentése változatlan marad.
Összegezve:
ai = 0
di = a transzlációs tengely aktuális helyzete, mint hossz paraméter. Itt figyelembe kell venni a tengely minimum helyzetében is megmaradó fizikai test méretét.
Θi = 0
Rotációs mátrix:
A következő a rotációs mátrix, mely két azonos origóval rendelkező koordináta rendszer egymáshoz képesti elfordulását, rotációját adja meg.
Jelölések:
A szerszám koordináta rendszer alap koordináta rendszerhez viszonyított rotációját az alábbi rotációs mátrix adja meg. A „0”, vagyis nyugvó koordináta rendszerből rotál az „n” mozgó koordináta rendszerebe.
Az e1, e2, e3, a szerszám (mozgó) koordináta rendszer egységvektorai. A mátrix ezen egységvektoroknak, az alap (nyugvó) koordináta rendszerre számított vetületeit adja. Máshogy fogalmazva a mozgó koordináta rendszer minden egyes vektora milyen összefüggést mutat a nyugvó koordináta rendszer minden egyes vektorával. A 2*3 vektor adja a 3X3-as mátrixot eredményül. (Minden tagot minden taggal szorozni kell.)
A rotációs mátrix felírható a három módosított Euler szög használatával is.
A fenti két leírás módot egymással egyenlővé téve, meghatározhatók a szögekre vonatkozó egyenletek. Ezek már végeredményként használhatók a robot karjának beállításához.
Transzformációs mátrix teljes robot manipulátorra vonatkoztatva
Végül meg kell határozni a teljes robot manipulátorra vonatkozó transzformációs mátrixot. A kapott mátrix magában foglalja a szerszám koordináta rendszer rotációját és origójának helyzetét az alap koordináta rendszerben.
Jelölések:
0Tn= homogén transzformációs mátrix a robot alapjától az „n”-edik tengelyig
0Rn= rotációs mátrix a robot alapjától az „n”-edik tengelyig
Az 0Rn mátrixot behelyettesítve:
A transzformációs mátrixot az egyes tengelyek D-H mátrixainak szorzataként kapjuk.
Ennek megfelelően a szorzat által adott 4X4 mátrixból kiolvashatók a keresett pozícióra vonatkozó adatok.
